Teorema de Tales

Existen dos teoremas que reciben el nombre de Teorema de Tales, ambos descubiertos por primera vez por Tales de Mileto en el siglo VI a.C.

Primer Teorema

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos se llaman semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, a saber, que:


Si por un triángulo se traza una linea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.



Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.

Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, se cumple que:

Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto. En cualquier caso, el teorema per se demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente entre sus lados.

Segundo teorema

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:


Sea C un punto de la circunferencia de diámetro [AB], distinto de A y de B. Entonces el ángulo ACB, es recto.


Este teorema es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.

Comprobación: OA = OB = OC = r, siendo O el punto central del círculo y r el radio de la circunferencia. Por lo tanto OAC y OBC son isósceles. La suma de los ángulos del triángulo ABC es equivalente a 2α + 2β = π (radianes). Dividiendo por dos, se obtiene:

(o 90º).

Además, la bisectriz de un triángulo corta al lado opuesto del ángulo con la bisectriz en dos segmentos iguales. Hipotenusa² = C² + C², es decir AB²=CA²+CB².

En conclusión se forma un triángulo rectángulo.

La Línea de Euler

Si un triángulo es equilátero entonces circuncentro, baricentro y ortocentro coinciden. En otro caso Euler demostró que esos tres puntos están siempre alineados. A la línea que pasa por esos puntos se la denomina línea de Euler del triángulo.

Esta afirmación demuestra que el centro de la circunferencia(circuncentro), las alturas coinciden en un punto (el ortocentro), que las medianas coinciden en un punto (el baricentro) y que circuncentro, baricentro y ortocentro están alineados.

Por ejemplo:

Los puntos del triángulo ABC; el circuncentro (O), el baricentro (G), y el ortocentro (H), están alineados.

La línea que pasa por esos puntos se le llama "Linea de Euler".

Triángulo Isósceles

Triángulo en el que al menos dos lados son congruentes. A los lados congruentes se les llama catetos. El ángulo formado por los catetos es el ángulo vértice. Los otros dos ángulos son los ángulos base. La base es el lado opuesto al ángulo vértice.
Fuente:  http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/i/isoscelestriangle.htm 

Un triángulo, geométricamente hablando, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.



Por lo tanto, un triángulo tiene 3 elementos: 3 ángulo interiores, 3 lados y 3 vértices.


Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo

Pitagoras

(Samos, Jonia, c. 580 - Metaponte, Lucania, c 500 a. C.) Filósofo y matemático griego. Hacia el año 530 se instaló en Crotona (Italia), donde fundó la escuela pitagórica, que llegó a convertirse en una asociación parcialmente religiosa, científica y filosófica tenia un sistema educativo basado en la gimnasia, las matemáticas y la música.  Las ideas y descubrimientos científicos de la escuela pitagórica han sido atribuidos tradicionalmente al fundador, por lo que no sabemos exactamente cuáles fueron suyos y cuáles de sus discípulos. El concepto básico de los pitagóricos era el número, que consideran el principio de todo.  Se les debe el teorema de Pitágoras, que afirma que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Este teorema aparece enunciado por primera vez en los "Elementos de Euclides", pero ya se conocía desde mucho antes.  También se les atribuye el descubrimiento de los números irracionales (la inconmensurabilidad de la diagonal y el lado de un cuadrado), que parece haberse convertido en un secreto de la escuela, celosamente guardado. Otro descubrimiento pitagórico fue la observación de que, cuando dos cuerdas de un instrumento musical vibran con sonidos armónicos, sus longitudes forman una relación expresada por números sencillos (como 1:2, 1:3, 2:3, etc.).  Extendiendo este principio a los astros del sistema solar, afirmaron que las distancias de los planetas también forman las mismas relaciones, y que sus movimientos son armónicos, como las cuerdas, lo que dio origen a la idea de la "música de las esferas", que se mantuvo durante muchos siglos. Anticipándose a su época, sostuvieron que la Tierra gira alrededor del Sol y éste, a su vez, en torno de un fuego central invisible. Los pitagóricos consiguieron gran influencia política en Magna Grecia (sur de Italia), lo que provocó reacciones contra ellos. La primera forzó a Pitágoras a abandonar Crotona y retirarse a Metaponte, donde se dice que se dejó morir de hambre, aunque hay otras versiones de su muerte.